小升初奥数难点之行程问题

    在小学竞赛阶段，很多孩子谈行程色变。为何行程问题难住了我们？原因是过程过于复杂和动态。解决问题的总方针就是动中找静。化动态为静态，化复杂为简单，化抽象为具体，化陌生情境为熟悉情境是我们解决行程问题的不二法门。很多竞赛资料上处理行程问题的时候都是以画线段图为主来解题的。对于完全依赖线段图的做法我是不赞成的。孩子年级小对于动态的东西本难以理解，如多次相遇问题两次以内还好，当次数多于3的时候画图都画不清楚的。我认为解决行程问题就需要2大理念，一是整体的思想，二是抓住运动过程中的不变的静止的量。一般的辅导资料解题就是过于纠结于局部，使得孩子们做题缺乏大局观，往往被繁杂的细节转昏了头。接下来我谈谈如何解决行程问题。

    任何复杂的问题都是一些列简单的问题组成的，难题做不出实际上就是对于基础知识点没吃透。行程问题最基本的关系就是速度 时间=路程；路程 速度=时间；路程 时间=速度。这3个关系很简单，可是它蕴含的内含并不简单。解决难题需要我们对简单模型的深刻认识而不是简单的套公式。将行程大方向分类就是相遇问题和追及问题。当然简单的一人行程问题可以看为相遇问题。可以认为1个人从A到B，另外一人从B到A速度为0，当然就是在B相遇。我们先从简单的相遇问题谈起。

    例：甲乙两人同时从AB两地分别出发相向而行6分钟相遇。甲的速度是60米每分钟，乙是50米每分钟。求AB的路程？

    这个题很容易   （50+60） 6=660米。很多孩子上来就套相遇路程=速度和乘以相遇时间。这个题不是最关键的，关键是题目后面的思考和内涵。开始我谈了把一人行程变为2人的一分为二的方法，这里为什么不能合二为一呢？实际上可以把两人看为1人以110米的速度出发6分钟到达终点来思考。相遇问题实际上可以把2人看为1人，把两人的速度和看为对应那人的速度。

    接下来我说下第二层思考。就是这个过程的整体是AB的路程，局部是甲走的路程与乙走的路程。为何我这里强调整体呢？很多行程问题的不变量就是两地路程。找到了不变量我们解题就有了大方向和目标，这远比拘泥于细节强。

    第三层思考从局部来看也有不变量就是两人行驶时间一样。那么他们的路程比就等于速度比。许多没有具体数量的问题就要利用这个关系。这个问题说明了甲乙所走的路程比是6：5.如此简答的行程问题在我的思考中就有三个不简单的东西。一是减少行程问题的人数，二是把握整体这个积不变。三是通过局部找到时间不变。路程比等于速度比。

    然后我们谈谈对简单追及问题的思考。

    例甲乙两人同时从A出发，甲的速度是60米每分钟，乙是80米每分钟。甲先出发2分钟后，乙才出发多久后乙追上甲？

    一般孩子套追及公式60 2 （80-60）=6分钟。或设x分钟追上60（x+2）=80x

    X=6

    我着重谈下我的思考。这个题从整体角度来说不变的是两人所走的路程。路程不变的时候速度与时间成反比。时间比就是80：60=4：3，1份时间是2分钟所以6分钟可以追上。

    思考2：我们不难知道甲先出发120米，我们可以化归为简单行程问题把两人变为1人，对应那人的速度就是两人速度差为20.利用路程除以速度就得到6分钟了。这里又是可以把两人看为1人。

    思考3：如果从甲出发那刻看起那么甲的时间与乙的时间相同，那么路程比就是速度比

    为80：60=4：3，120米就是一份路程甲走了4份路程为480米，480除以80=6分钟

    这个题如果我改为甲乙速度比是3：4，甲先出发2分钟。乙才出发多久追上？能解决这个问题的孩子至少减少一半。

    在这里我对最简单的追击问题从减少人数，把握整体抓不变量思考用反比例以及把握局部用正比例进行了简单的叙述。

    接下来我们对这个问题稍微推广下难度就会大很多。

    例甲乙两人同时从AB两地分别出发相向而行，甲的速度是60米每分钟，乙是50米每分钟。两人距离中点30千米处相遇求AB的路程。

    细心的朋友会发现这两个题运动过程一样，只是对条件进行了处理。这里的整体是全程我们只要求出相遇时间就解决问题。不难得到他们走的路程比是6：5原因是时间不变。且甲多走60米，所以1份是60米全程11份问题就解决了660米

    思考2.这个题也可以看为追击问题，相同时间甲比乙多走60米  60 （60-50）=6分钟，再利用相遇关系来解决就可以了

    当然我们还可以把握路程一半不变设x分钟相遇  60x-30=50x+30  x=6反思下和思考2本质是一样的

    接下来我谈下2个经典的多人相遇问题

    甲乙两人分别从AB两地同时开车出发相向而行，AB的距离是80千米，甲的速度是18千米/小时，乙的速度是22千米/小时。已知狗从A出发开始和甲同向不断往返于甲乙之间。狗的速度是50千米/小时，求甲乙相遇时候狗走的路程？

    这个问题如果我们把狗与甲乙相遇逐次看会异常复杂，在初等数学范围内都不好解决，但如果我们整体把握问题就简单很多。我们不管狗。此题的不变量是三人的时间。只要求出相遇时间就好办了。 可是我们只要把握了两人开车的时间以及狗的时间是一致问题很容易了。这个时间就是相遇时间。

    为80÷（18+22）=2小时   狗跑了50乘以2=100千米

    甲乙丙三人，甲从A，乙丙从B。同时出发相向而行，甲乙相遇6分钟后，甲丙相遇。甲的速度是100米每分，乙是80米每分，丙是75米每分。求AB的路程？

    这是典型的多人相遇问题。我们化3人为2人化2人为1人来等效处理。此题不变量全程。相遇对象甲乙，甲丙我们可以把甲乙看为1人的速度是180米每分，相遇时间是合成1人的所行全程对应时间。把甲丙看为1人速度是175米，所要时间多6分钟。就变为经典的追击问题了一人以175米每分速度先走6分后另一人以180米每分追，追上时候他们走的路程是多少？175乘以6除以5=210分钟，所以全程就是180乘以210=37800米

    说完了多人行程我说下多次相遇问题。在解决相遇和追击问题的时候我们都运用了合二为一的方法，在学习多次相遇的时候我们可以结合一分为二与合二为一来理解。

    解决多次相遇问题关键点在于抓住相邻两次相遇的时候两人走的路程和是一个周期。直线型一个周期是一个来回。封闭型是一圈。直线型一个周期是两全程。这个问题由于过于动态我们可以从最简单情况来理解就是小明往返于AB，小明从A出发，小军在B不动。很明显小明每次在B与小军相遇且小明每次相遇走的路程是一个周期2全程。规律就是路程和按1，3，5，7……2n-1排列。同样的追击就是每次追一个周期。也是按1，3，5，7……2n-1个全程排列。此外如果开始如果是起点一样就是按2，4，6，8……2n排列的规律了。下面我们看一道较为容易的多次相遇问题

    甲乙两人往返于AB两地，第一次距离A800米处相遇，第二次距离A600米处相遇求AB路程。

    分析此题没有速度和时间只出现路程，估计就要运用速度比等于路程比思考。我们从甲乙整体的角度看甲。一次相遇共走1全程时候是800米，第二次相遇共走3全程甲走2400米。从甲自己来看待这个运动是走了2个全程少600米，全程就是1500米。如果把距离A改为距离B600米结果如何呢？请读者自己思考。

    例A、B两地之间有条公路，小王步行从A地去B地，小张骑摩托车从

    B地出发不停地往返于A，B两地之间。若他们同时出发，前后速度保持

    不变，60分钟后两人第一次相遇，70分钟后小张第一次超过小王。 当小王到达B地时，小张和小王迎面相遇过几次？

    分析：这是一个相遇与追击综合的问题。此题的不变量是全程。由于没有具体数量我们可以把全程看为1.他们60分钟走完了1，实际上小张与小王的速度和=1/60。70分钟后小张第一次超过小王说明他们速度差是1/70, 由和差问题关系小张速度为（1/60+1/70）÷2=13/840

    小王速度为（1/60-1/70）÷2=1/840  时间相等所以路程比等于速度比。小王到终点的时候小王走了13个全程。他们共走14个全程  第n次迎面相遇就共走（2n-1）个全程。所以迎面相遇7次

    例甲、乙、丙是三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小军和小明分别从甲、

    丙两站同时出发相向而行，小军过乙站100米后与小明相遇，然后两人保持原

    速继续前进，小军到达丙站后立即返回，经过乙站后300米又追上小明，问甲、

    丙两站的距离是多少米？

    分析：我们从局部把握就是时间不变。我们考虑各个状态的路程比等于速度比即可设路程为x   第一次相遇甲走1/2x+100,乙走1/2x-100，第一次追上乙走1/2x+300,甲比他多1全程

    接下来看一个电车发车问题

    小明在AB两站间的公路上行驶，每隔一定时间时间开出一辆车，他每隔4分钟迎面遇到一辆车，每12分钟有一辆车背后追上小明，求汽车隔多久发车？

    分析：此题没有具体数量，看似无从下手不管相遇还是追击路程都是等于相邻两辆车的车间距。这个不变量就是车间距。我们把车间距看为1.汽车与小明速度和=1/4    汽车与小明速度差是1/12.由和差关系知道汽车速度是（1/4+1/12）÷2=1/6  发车时间就是车间距离÷汽车速度=1÷1/6=6分钟

    反思：此题本质和下题是一样的。小明在A,汽车在B。他们同时出发相向而行，4分钟相遇。沿着BA方向同向而行12分钟汽车追上小明。求从B到A汽车要多久？

    此题也可以改编为平均速度问题小军上山速度4千米每小时，下山12千米每小时。求整个过程的平均速度？

    接下来我们看几个没有具体数量运用比解决的问题

    例汽车从A到B如果每小时速度提高1/5就可以提早0.5小时到。如果按原速行驶45千米后把速度降低1/5后就迟到0.5小时。求AB的路程？

    分析：我们用逆推的思想思考。只要知道计划速度和计划时间问题就解决了。从第一个条件知道提速前后速度比是5：6那么时间比是6：5，不变量是全程。0.5小时是1份时间所以走完全程计划是6份时间是3小时。再看走完45千米后的局部路程不变。降速前后速度比是5：4，那么时间比4：5，0.5小时是1份时间，所以计划走后面的路要4份时间2小时，所以走完45千米只要3-2=1小时，45乘以3=135千米问题就从容解决了。

    例有甲乙丙三辆车，各以一定速度从A到B，乙比丙晚出发10分钟，40分钟后追上丙，甲比乙晚出发20分钟，1小时40分钟追上丙。甲出发多久后追上乙？

    分析：乙走40分钟相当于丙走50分钟，抓路程不变所以乙和丙速度比是5：4,甲比丙晚出发30分钟，所以丙走130分钟路程相当于甲走100分钟。甲与丙速度比是13：10,我们把丙的份数统一为20，甲乙丙速度比是26：25：20，所以甲乙的时间比是25：26，甲比乙晚出发20分钟所以甲走了20 （26-25） 25=500分钟追上乙

    例龟兔赛跑10000米全程，兔子速度是乌龟的5倍，跑了一段兔子睡了，等兔子醒了，乌龟超过兔5000米，乌龟到终点时兔子还有100米到终点，兔子睡觉的时候乌龟跑了多少米？

    分析：我们不要拘泥于局部。最后的结果是乌龟跑了10000米兔子9900米。只要兔子不睡觉走的路是乌龟的5倍兔子没睡觉乌龟走的路是1980米所以睡觉的时候就是10000-1980=8020米

    例一列火车10点追上一辆自行车，15秒后超过。10点30遇到一个步行人，10秒离开，什么时候自行车和行人相遇？

    分析：我们从两个方面认识车长。我们把车长看为1.  从追击认识15秒追了1所

    火车速度-自行车速度= 1/15    （1）另一方面从相遇认识。10秒共走了1，

    火车速度+人的速度=1/10  （2）  （2）—（1）有

    人的速度+自行车速度=1/10-1/15=1/30    30分=1800秒

    现在算出自行车与行人速度和，关键要知道相遇路程10点时候火车和自行车在同一位置此时火车与人的相遇路程就是自行车与人的相遇路程，我们有1/10×1800=180 我们这里再次使用算两次，通过相遇路程不变入手。所以180÷1/30=5400秒=90分，所以11点30相遇。

    小结：本题有如下几个关键点1车长不变，通过等式变换得到人的速度+自行车速度=1/10-1/15=1/30  。10点那瞬间状态候火车和自行车在同一位置此时火车与人的相遇路程就是自行车与人的相遇路程。这时候的相遇路程一样。希望读者认真体会。

    对于流水行船问题实际上就是顺水看为相遇，逆水看为追及即可。猎狗追兔，复杂的钟面角问题注意抓住不变量运用正比例和反比例即可。列车过桥，错车等问题都可以化归为基本的相遇和追击问题了。

    最后说下解决行程问题就是如下几个思路。1化多人为1人（减少人数）2化多次为1次（减少次数）3整体把控4把握不变量（一般来说从整体和局部均可）5深刻认识相遇和追击问题的内涵。相信你一定能成功。