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小升初奥数难点之工程问题

来源:长春奥数网整理 2011-11-10 11:23:45

    很多孩子觉得工程问题难。其实任何难题都是由一系列容易的知识点组合而成的,难题做不出是由于基础的知识点没掌握牢。

    我这里先说个比较容易的题。甲乙两人共有104本书,甲的书的数目是乙的4/9,乙给甲多少本后两人一样多?

    在辅导孩子的过程中发现,几个孩子都是算出甲有32本,乙有72本。然后72-32=40.实际上这是对和差问题没理解透。仔细检查下都知道答案是20.此题也可以抓住总数不变开始甲;乙=9:4,后来1:1统一份数和有开始18:8后来13:13,26份是104,1份是4给出的5份是20.如果问题直接以甲32本,乙72本,乙给甲多少本后一样多?绝大多数孩子都能对。说明孩子的理解是表面的,没有深入的。接下来我来谈谈工程问题。

    工程问题分为一项和多项工程的问题。一项工程中又分为有具体数量和没具体数量的问题。对于一项的没具体数量的问题一般把工作总量看为1.把握住工作效率,工作时间,工作总量的关系。再抓住干活的人的工作总量和为1.对于一项工程没具体数量的问题难题一般结合了反比例,和倍差倍,和差问题。下面看一些例子。例1:一件工作甲先做6小时,乙接着做12小时可以完成。甲先做8小时,乙接着做6小时也可以完成。如果甲先做3小时由乙接着做,还需要几小时完成?分析:此题等量关系虽然好找,但是会出现2个未知数,但我们不会解二元一次方程组。甲6小时完成的总量+乙12小时的总量=1;甲8小时完成工作总量+乙6小时的总量=1上面2个式子的和都是1,第二种状态和第一种状态完成总量一样多,但甲多做了2小时,乙少做了6小时,说明甲2小时完成的工作量=乙6小时完成的工作量,甲的工作效率就是乙的3倍。

    我们把标准都统一成乙。甲6小时工作总量相当于乙干18小时,也就是说乙独做要18+12=30(小时),甲先做3小时相当于乙独做9小时,所以乙还要做30-9=21(小时)例2师徒3人合作一项工作要8天完成,师傅独做天数与两个徒弟合作天数相等,师傅与乙合做天数的4倍,与甲 独做天数相等,单独完成这项工作,甲乙两个徒弟各需要多少天?分析:三人效率和为1/8,师傅工作效率相当于2个徒弟之和,所以师傅效率为1/8 2=1/16师傅与乙的效率和是甲的4倍所以甲的工作效率是1/8 5=1/40所以甲独做要40天乙的效率是1/16-1/40=3/80所以乙要80/3= (天)例3一项工作计划一定天数完成,由甲独做则比计划早4天完成,由乙独做则比计划晚6天完成。这项工作由甲乙合作2天后由乙独做恰好按时完成,这项工作若一开始就由甲乙二人合作需要多少天完成?分析:我们以计划时间为标准。乙所做时间恰好是计划天数,他所完成工作量还余下自己6天独做的,而要甲来完成只需要2天。

    所以甲的工作效率是乙的3倍,因为工作总量不变,所以乙的时间是甲的3倍。乙比甲独做多用了6+4=10(天)所以甲独做要10 (3-1)=5(天)乙就要5 3=15(天) 所以甲的效率是1/5,乙的效率是1/15所以二人一开始合作要1 (1/5+1/15)=15/4(天)例4;一项工程,甲、乙两人合作8天可以完成,乙、丙两人合作6天可以完成,丙丁合作12天可以完成,那么,甲、丁两合作多少天可以完成?分析:按照常规思路求出甲的效率还有丁的效率然后加起来问题就解决了。

    但是如何求二人各自的效率就感到无从下手。由题知甲+乙=1/8,乙+丙=1/6,丙+丁=1/12,我们发现这3个关系中乙和丙各出现2次,甲和丁只出现一次,那么是否可以把3个式子加起来呢?我们来尝试下得到甲+丁+2(乙+丙)=1/8+1/6+1/12=3/8,我们知道乙+丙=1/6,所以甲+丁=3/8-1/6 2=1/24所以甲丁合作24天可以完成。

    这4个问题都是以一项工程的形式出的实际上分别考了,替换思想反比例,和倍,反比例与差倍,和差问题。所以在学习中不要孤立看问题。 接下来谈谈多项工程的问题。解决此类问题首先要找好标准看为1,其它工程的工作总量是对应的倍数。这和一项工程的区别是工作总量不是1了。另外要注意抓不变量,对于时间最短问题一般工效高的人做对应工作,时间少的完成后再来帮另外一人。此外多项工程问题也会结合比,归一问题综合考。下面看些例子。例搬运一个仓库货物,甲要10小时,乙要12小时,丙要15小时,有两个相同仓库A和B,甲在A仓库,乙在B仓库同时搬,丙开始帮甲,后来帮乙,两仓库货物同时运完,丙帮甲乙各多少小时?分析:设一个仓库工作总量为1,其实甲乙丙三人工作总量为2,并且三人工作时间一样。他们都工作了2 (1/10+1/12+1/15)=8(小时)我们设丙帮甲x小时,其实甲和丙工作总量为11/10 8+1/15x=1解得: X=38-3=5(小时)所以丙帮甲干了3小时,帮乙干了5小时 例甲乙两项工作,张单独完成甲工作要10天,完成乙工作要15天,李单独完成甲要8天,完成乙要20天,每项工作都可以合作,要把两项工作都完成至少要多少天?

    分析:李做甲的效率更高,张做乙工作效率更高。要使得所需要时间更短,我们可以先让李做甲,张做乙,然后李完成甲后来帮张李完成甲时候张完成了甲的1-1/15 8=7/15,所以还要7/15 (1/15+1/20)=4天才能完成李完成甲用了8天所以一共需要8+4=12(天)

    有一根粗蜡烛和一根细蜡烛,细蜡烛长度是粗蜡烛的3倍,烧完一根细蜡烛要1小时,烧完一根粗蜡烛要3小时,同时点燃两根蜡烛多少分钟后两根蜡烛长度相等?分析:此题关键有2个工作总量,一个 细蜡烛长度,一个粗蜡烛长度。

    我们假设粗蜡烛长度为1,细蜡烛就是3,所以燃烧细蜡烛效率是3,烧粗蜡烛效率为1/3,设x小时后两根蜡烛长度相等1-1/3x=3-3x解得x=3/43/4小时=45分钟。

    一个工程队要完成甲乙两项工程。甲的工作量是乙的2倍。前半个月该队的人都在做甲,后半个月一半的人做甲,一半的人做乙。一个月后甲工程完成。乙余下工作量要1人1个月完成。求该工程队有多少人?分析;把乙的工作总量看为1,甲就是2 因为前半月做甲的人数是后半月的2倍。所以后半个月甲完成了2除以(1+2)=2/3,乙也完成了2/3,乙余下了1/3要1人30天完成。一人一天的工作效率是1/90,完成2/3要15天,半个工程队一天完成2/45,2/45除以1/90=4人,所以全队共8人也可以从比的角度深入思考1/3要1人30天,15天是多少人完成了2/3。

    后者相对前者工作总量扩大2倍时间减少到原来的1/2,所以人数扩大了2除以1/2=4倍,半个队是4人全队是8人最后说下有具体数量的工程问题。此类题可以和行程问题,分数比的应用题结合考查。例客车从A站到B站要行8小时,货车从B站到A站要行10小时,现在两车同时从两站相向开出,相遇时客车比货车多行了40千米,AB站相距多少公里<tr><td>分析1;利用正比例和反比例走相同的路程客车货车时间比8:10=4:5,40除以(5-4)乘以(4+5)=360千米

    分析2;看为工程问题1除以(1/8+1/10)=40/9小时客车走了全程的一半多20千米走一半是4小时20除以(40/9-4)=45千米45乘以8=360千米</tr>加工一批零件,甲乙合作24天完成,现在甲先做16天,然后乙再做12天,还余下这批零件的2/5没完成,甲每天比乙多加工3个零件,这批零件共多少个?分析:我们只要求出甲和乙每天各完成多少个零件。

    设甲每天完成x个零件。甲16天干的零件个数+乙12天干的零件个数=3/5总零件个数16x+12(x-3)=3/5(24x+24(x-3))解得x=9,乙每天完成6个,所以一共有(9+6) 24=360(个)零件分析2;我们只要求出3个零件是总工程的多少倍就可以了。甲乙效率和1/24,可以看为甲乙合作12天后,甲独做4天共完成3/5,甲乙12天完成1/2,余下1/10.要4天,甲每天完成1/40,乙每天完成1/60.3除以(1/40-1/60)=360个。

    工程问题还有一类就是间歇问题和周期问题。我们一般找到一个周期效率和看整个过程是多少个周期,余下部分单独算。下面看些例子。例1:蓄水池有一进水管和出水管。单开进水管5小时注满一池水,单开排水管3小时排光一池水。现在池内有半池水,如果按进水,排水,进水,排水……顺序轮流开一小时。多长后排光水?分析:一个周期是2小时。在一个周期内可以排出1/3-1/5=2/15的水我们看在几个周期可以完成任务1/2 2/15=3.75(个)周期我们考虑整数个周期3个周期也就是6小时还有1/2-2/15 3=1/10没完成接下来一小时进水所以7小时后池内有1/5+1/10=3/10要用3/10 1/3=9/10(小时)一共要7+9/10=7.9(小时)

    例2:李和小张同时开始制作同一种零件,每人每分钟能制作1个零件,但小李每制作3个零件要休息1分钟,小张每制作4个零件要休息1.5分钟。现在他们要共同完成制作300个零件的任务,需要_________分钟。

    分析:小李的周期是4分钟,小张的周期是5.5分钟。他们最小周期是44分钟小李一个周期能完成3个,44分钟他完成33个零件,小张44分钟完成4 8=32个零件,在44分钟内他们完成33+32=65个零件,300 65=4……40所以在4个44分钟后还余下40个零件,也就是说完成260个零件要176分钟我们只要计算二人合作40个零件要多久?

    我们先大概估计下,如果2人不休息则要40 2=20(分钟)小李20分钟只有15分钟在干活共完成15个,小张完成的计算不太方便。我们先算小张4个周期也就是22分钟完成了16个,小李干了5个周期完成了15个,另外2分钟完成了2个,所以22分钟两人共完成了16+17=33个零件,余下7个第23分钟一共完成2个,第24分钟小李休息所以只完成了1个,第25和第26分钟各完成2个。所以26分钟能完成这40个。所以完成300个零件一共要176+26=202(分钟)

    小结:对于一般工程问题可以把工作总量看为1,难些的题可能要结合和倍,差倍,和差问题以及反比例来解。实际上工程问题用反比例的模型来自于鸡兔同笼。对于多项工程问题关键要明确工作总量的变化了。具体数量问题很多可以转化为行程问题来看待。周期问题需要细心和耐心。对于工资问题就是按比例分配结合和差问题就能解决了,具体细节还要注意。总之对于解难题的方法就是陌生问题熟悉化,调动自己的知识储备来化归转化就可以了。

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