小升初奥数难点之巧解行程问题

    验解决问题策略的多样性，提高解题能力。现就行程问题的教学，举例谈些体会，供同行们参考。

    一、巧用假设步步深入

    有些行程问题应用题若按常规思路，去分析、解答，则会无从下手，所以采用假设法，步步为营、稳扎稳打，就很易找到解题的途径。

    例1：一艘轮船所带的柴油最多可以用6小时，驶出时顺风，每小时行驶30千米；驶回时逆风，每小时行驶的路程是顺风的。这艘轮船最多驶出多远就应往回驶了？

    此题，我们若假设6小时全是逆风行驶，则可行驶30××6＝144（千米），而实际有一部分时间是顺风行驶，故拿1小时逆风行驶的路程换成1小时顺风行驶的路程，每换1小时相差30×＋30＝54（千米），这样可求出顺风行驶的时间为144÷54＝（时）。由于顺风每小时行驶30千米，小时可以行驶30×＝80（千米）。由此求得，这艘轮船最多可驶出80千米就应往回驶了。综合算式为30××6÷（30×＋30）×30＝80（千米）。

    当然我们也可假设全是顺风行驶的，求出逆风行驶的时间为30×6÷（30×＋30）＝（时），同样可求出这艘轮船最多可驶出30××＝80（千米）。

    二、巧理关系合理转化

    有些稍复杂的行程问题应用题，如果我们能理清题中的已知条件与所求问题之间的关系，采用“转化”法，把复杂的“行程问题”转化为 “和差问题”来解答，那问题就简单多了。

    例2：甲、乙两车同时从相距160千米的两站相向开出，到达对方站后立即返回，经过4小时两车在途中第二次相遇。相遇时甲车比乙车多行120千米。求两车的速度。

    从题中我们不难看出，甲、乙两车从出发到第二次相遇，一共行了三个全程，即两车4小时共行的路程和为160×3=480（千米）；而两车相遇时甲车比乙车多行了120千米，这“120千米”即为两车4小时所行的路程差，根据和差问题的公式“大数=（和＋差）÷2”，可求出甲车4小时行的路程为（480＋120）÷2=300（千米），甲车的速度为每小时行300÷4=75（千米），同样可求乙车的速度为每小时行（480－120）÷2÷4=45（千米）。

    当然，这道题我们也可先求出甲、乙两车的速度和为160×3÷4=120（千米），再求出两车的速度差为120÷4=30（千米），然后根据和差问题的公式，直接求出甲车的速度为每小时行（120＋30）÷2=75（千米），乙车的速度为每小时行（120－30）÷2=45（千米）。

    三、巧制表格逐步消元

    有些行程问题应用题，当给出的条件多而复杂时，可将题中的已知条件进行分类整理，并用表格的形式呈现出条件之间的关系，这样就可借助表格进行逐步消元，从而把一道数量关系复杂的题目简单化。

    例3：王老师每天早上晨练，他第一天跑步1000米，散步1600米，共用25分钟；第二天跑步2000米，散步800米，共用20分钟。假设王老师跑步的速度和散步的速度均保持不变。求：（1）王老师跑步的速度；（2）王老师散步800米所用的时间。

    要求这两个问题关键是求速度。一般方法很难奏效，我们不妨将题中的已知条件进行分类整理，制作如下表格进行推算：

    从上述表格中我们可清楚地知道，王老师跑步的速度为每分钟200米，散步的速度为每分钟80米，王老师散步800米所用的时间为10分钟。

    四、巧增条件化繁为简

    有些行程问题应用题，若能巧妙地运用“增元”的思路进行分析思考，恰当增加一个条件，也许能把题目化繁为简，从而达到难题迎刃而解的目的。

    例4：A、B两地相距1550米，甲、乙两人分别以每分钟75米和65米的速度同时从A向B出发，同时丙以每分钟85米的速度从B向A出发。丙在多少分钟后，恰好位于甲、乙两人的中间？

    这道题按照一般思路来解，会感到很棘手，不知道该如何处理甲、乙、丙之间的位置关系。如果我们巧妙地再增加一个人，就可轻松解决此题。

    我们不妨增加一个丁，他与丙的速度相同，并且与丙同时从B向A出发，那么当丙处在甲、乙两人中间D时，丁也处于甲、乙两人中间的D处。因为丙与丁在同一位置，所以这时丁与乙的距离CD和丁与甲的距离DE相等。

    此时，如果让丙不走DE这一段路程，而去走DC之间的距离，则四人正好合走了2个全程。由此可以求出时间：

    1550×2÷（75＋65＋85×2）＝10（分）。

    即丙出发10分钟后，恰好处于甲、乙两人的中间。

    五：巧换问题化难为易

    有些行程问题应用题，如果直接寻找所求问题的答案往往难度很大，这时，我们若把问题变换成另一个等价问题，那么事情就好解决多了。

    例5：小红和小丽同住一幢大楼，她们同时骑车出发，同时到达敬老院做好事。在途中，小丽骑车的时间是小红休息时间的3倍，小丽休息的时间是小红骑车时间的。谁骑车的速度快？为什么？小红骑车的速度是小丽骑车速度的多少倍？

    由于两人经过的路程一样，所用的总时间也相同，我们不难知道谁休息的时间长，谁骑车的速度就快；也就是说谁骑车的时间长，谁骑车的速度就慢。所以我们可把求“谁骑车的速度快”这一问题，等价转换为求“谁休息的时间长”这个问题。

    我们不妨设小红休息的时间为a ，小丽骑车的时间则为3a；小丽休息的时间为b，小红骑车的时间则为b÷＝4b。

    根据两人所用的总时间相同，列式为3a+b=a+4b，化简得a=1.5b。

    因a=1.5b,而1.5b＞b，也即小红休息的时间比小丽休息的时间长，所以，小红骑车的速度快。小红骑车的速度就是小丽骑车速度的1.5倍。

    六、巧找倍比灵活解题

    有些较复杂的行程问题应用题，既不知道速度也不告诉路程，这时，我们可根据其已知条件之间的倍比关系，寻找巧妙的解题方法。

    例6:在一圆形跑道上，甲从A点，乙从B点同时出发，反向而行，8分钟后两人相遇，再过4分钟甲到B点，又过12分钟两人再次相遇，乙环行一周需多少分钟？

    初看题目似乎毫无头绪，无从下手，但仔细审题后很容易发现甲乙两人从第一次相遇到第二次相遇，共用了4＋12＝16（分钟），也即两人行一圈用16分钟。

    甲乙两人从出发到第一次相遇在C点，共要8分钟，因为16÷8＝2，故所以两人8分钟正好合行了半圈的路程，也即从A经C到B的路程。甲行完这半圈的路程要8＋4＝12（分钟），所以，甲行完全程要12×2＝24（分钟）。

    我们不难知道，乙从B到C行了8分钟，甲从C到B行了4分钟，可知甲、乙两车行相同的路程所需时间的倍比关系。同样的一段路所用的时间乙是甲的8÷4＝2倍，可见乙环行一周的时间也是甲的2倍，即需24×2＝48（分钟）。

    总之，教学中积极、适宜地进行多种解题策略的训练，有利于充分调

    动学生思维的积极性，提高解题能力，开发学生的智力潜能，促进学生的全面发展，培养和发挥学生的创造性。